0.1 Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế Trước tiên, ta cần định nghĩa các hàm số kinh tế cơ bản: Hàm chi phí: C ( Q ) - Tổng chi phí để sản xuất ra Q đơn vị sản phẩm. Hàm doanh thu: R ( Q ) - Tổng doanh thu thu được từ việc bán Q đơn vị sản phẩm. Hàm lợi nhuận: π ( Q ) = R ( Q ) − C ( Q ) - Lợi nhuận thu được. Hàm sản xuất: Q = f ( L , K ) - Sản lượng Q thu được từ lao động L và vốn K Hàm cầu: Q = f ( P ) hoặc P = f ( Q ) - Mối quan hệ giữa giá bán P và lượng cầu Q Chi phí biên ( MC - Marginal Cost) Định nghĩa: MC = C ′ ( Q ) = dC dQ Ý nghĩa kinh tế: Chi phí tăng thêm để sản xuất thêm 1 đơn vị sản phẩm. Nó cho biết tốc độ thay đổi của chi phí khi sản lượng thay đổi. Ví dụ: Nếu C ( Q ) = 100 + 5 Q + 0 , 1 Q 2 thì MC = C ′ ( Q ) = 5 + 0 , 2 Q Tại mức sản lượng Q = 10 , chi phí biên là 5 + 0 , 2 · 10 = 7 . Điều này có nghĩa: tại Q = 10 , nếu sản xuất thêm 1 sản phẩm, chi phí sẽ tăng thêm khoảng 7 đơn vị tiền. Doanh thu biên ( MR - Marginal Revenue) Định nghĩa: MR = R ′ ( Q ) = dR dQ Ý nghĩa kinh tế: Doanh thu tăng thêm khi bán thêm 1 đơn vị sản phẩm. Ví dụ: Nếu R ( Q ) = 20 Q − 0 , 5 Q 2 thì MR = R ′ ( Q ) = 20 − Q . Tại Q = 10 , doanh thu biên là 20 − 10 = 10 . Nghĩa là, bán sản phẩm thứ 11 sẽ mang về thêm 10 đơn vị doanh thu. Lợi nhuận biên ( MP - Marginal Profit) Định nghĩa: MP = π ′ ( Q ) = d π dQ Ý nghĩa kinh tế: Lợi nhuận tăng thêm khi sản xuất và bán thêm 1 đơn vị sản phẩm. Dễ dàng thấy rằng: MP = MR − MC Sản phẩm biên (MPP - Marginal Physical Product) Định nghĩa: Là đạo hàm riêng của hàm sản xuất. MPP L = ∂ Q ∂ L (Sản phẩm biên của lao động) MPP K = ∂ Q ∂ K (Sản phẩm biên của vốn) Ý nghĩa kinh tế: Mức sản lượng tăng thêm khi sử dụng thêm 1 đơn vị yếu tố đầu vào (lao động hoặc vốn), trong khi giữ nguyên các yếu tố khác. 0.1.1 Tối đa hóa lợi nhuận Đây là bài toán kinh điển nhất. Một doanh nghiệp muốn chọn mức sản lượng Q để lợi nhuận π ( Q ) = R ( Q ) − C ( Q ) là lớn nhất. Điều kiện cần (Quy tắc vàng): π ′ ( Q ) = 0 ⇐⇒ R ′ ( Q ) = C ′ ( Q ) ⇐⇒ MR = MC Phát biểu: Lợi nhuận đạt cực đại tại mức sản lượng mà tại đó Doanh thu biên bằng Chi phí biên. Giải thích: Nếu MR > MC , việc sản xuất thêm 1 sản phẩm sẽ mang về doanh thu nhiều hơn chi phí bỏ thêm, nên doanh nghiệp có lợi để tăng sản lượng. Ngược lại, nếu MR < MC , sản xuất thêm sẽ lỗ. Cân bằng xảy ra khi MR = MC 1 Điều kiện đủ: Để điểm đó là cực đại, đạo hàm bậc hai phải âm: π ′′ ( Q ) < 0 ⇐⇒ MR ′ ( Q ) < MC ′ ( Q ) Nghĩa là, tại điểm MR = MC , đường Doanh thu biên phải cắt đường Chi phí biên từ phía trên xuống. Ví dụ 1. Một hãng độc quyền sản xuất giày có hàm chi phí C ( Q ) = 2000 + 50 Q + 0 , 5 Q 2 và hàm cầu P = 120 − 2 Q . Tìm mức sản lượng ( Q ) và giá bán ( P ) để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. | Lời giải. Tổng doanh thu: R ( Q ) = P · Q = ( 120 − 2 Q ) Q = 120 Q − 2 Q 2 Hàm lợi nhuận: π ( Q ) = R ( Q ) − C ( Q ) = ( 120 Q − 2 Q 2 ) − ( 2000 + 50 Q + 0 , 5 Q 2 ) = − 2000 + 70 Q − 2 , 5 Q 2 Ta có π ′ ( Q ) = 0 ⇐⇒ 70 − 5 Q = 0 ⇐⇒ Q = 14 kết hợp với π ′′ ( Q ) = − 5 < 0 suy ra lợi nhuận đạt cực đại tại Q = 14 Khi Q = 14 ta có giá bán P = 120 − 2 · 14 = 92 Để tối đa hóa lợi nhuận, công ty nên sản xuất và bán 14 sản phẩm với mức giá 92 (đơn vị tiền). 0.1.2 Các bài toán tối ưu khác Tối đa hóa doanh thu Bài toán: Tìm Q để R ( Q ) max. Giải pháp: Giải phương trình R ′ ( Q ) = MR = 0 và kiểm tra R ′′ ( Q ) < 0 Tối thiểu hóa chi phí Bài toán: Tìm Q để chi phí bình quân ( AC = C ( Q ) Q ) là thấp nhất. Giải pháp: Đạo hàm hàm chi phí bình quân và cho bằng 0. Kết quả quan trọng: Chi phí bình quân đạt cực tiểu khi Chi phí biên ( MC ) = Chi phí bình quân ( AC ). (Bạn đọc có thể tự chứng minh bằng cách đạo hàm AC ). Ví dụ 2. Một xưởng sản xuất có hàm tổng chi phí C ( Q ) = Q 3 − 10 Q 2 + 60 Q Ở mức sản lượng nào thì chi phí bình quân ( AC ) là thấp nhất? | Lời giải. Hàm chi phí bình quân: AC = C ( Q ) Q = Q 3 − 10 Q 2 + 60 Q Q = Q 2 − 10 Q + 60 Ta có AC ′ = 0 ⇐⇒ 2 Q − 10 = 0 ⇐⇒ Q = 5 Kết hợp AC ′′ = 2 > 0 nên AC đạt cực tiểu tại Q = 5 Tại mức sản lượng Q = 5 , chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là thấp nhất. Tối đa hóa sản lượng Bài toán: Với ngân sách cố định, phân bổ nguồn lực ( L , K ) như thế nào để sản lượng Q = f ( L , K ) lớn nhất? (Bài toán tối ưu hóa có ràng buộc, thường dùng phương pháp nhân tử Lagrange, liên quan đến đạo hàm riêng). Quy tắc: Tối đa hóa sản lượng khi tỷ lệ giữa Sản phẩm biên và giá của các yếu tố đầu vào là bằng nhau: MPP L / w = MPP K / r (với w là giá lao động, r là giá vốn). Phân tích co giãn (Elasticity) Độ co giãn của cầu theo giá: ε p = dQ dP · P Q Ở đây, dQ dP chính là đạo hàm của hàm cầu. Đạo hàm này giúp đo lường mức độ phản ứng của người tiêu dùng trước sự thay đổi của giá cả. Nếu | ε p | > 1 : Cầu co giãn (giảm giá sẽ tăng doanh thu). Nếu | ε p | < 1 : Cầu kém co giãn (tăng giá sẽ tăng doanh thu). 2 Ví dụ 3. Hàm cầu của một mặt hàng là Q = 100 − 4 P a) Tính hệ số co giãn của cầu theo giá ( ε p ) tại mức giá P = 15 b) Tại mức giá này, cầu co giãn hay kém co giãn? Doanh nghiệp nên tăng hay giảm giá để tăng doanh thu? | Lời giải. a) Ta có Q ′ ( P ) = − 4 . Tại P = 15 , lượng cầu Q = 100 − 4 · 15 = 40 . Hệ số co dãn ε p = − 4 · 15 40 = − 1 , 5 b) Vì | ε p | = 1 , 5 > 1 nên cầu co giãn nhiều. Kết luận: Doanh nghiệp nên giảm giá để tăng doanh thu. Khi cầu co giãn ( | ε p | > 1 ), một sự thay đổi về giá (ví dụ: giảm 1%) sẽ dẫn đến một sự thay đổi lớn hơn về lượng cầu (tăng 1,5%). Do đó, doanh thu biên (MR) là dương và doanh nghiệp nên GIẢM GIÁ để tổng doanh thu tăng lên. (Nguyên tắc: Khi | ε p | > 1 , giá và doanh thu thay đổi ngược chiều). Câu 1. Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền là P = 600 − 2 Q và tổng chi phí là C = 0 , 2 Q 2 + 28 Q + 200 Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận tối đa. Tìm mức giá P và lợi nhuận lúc đó. Nếu chính quyền đặt thuế 22 (USD) cho mỗi đơn vị sản phẩm thì lợi nhuận đạt tối đa lúc này với mức sản xuất nào? Tìm mức giá và lợi nhuận khi đó. | Lời giải. Hàm doanh thu: R = PQ = ( 600 − 2 Q ) Q = 600 Q − 2 Q 2 Hàm lợi nhuận: π = R − C = − 2 , 2 Q 2 + 572 Q − 200 Ta có π ′ = 0 ⇐⇒ − 4 , 4 Q + 572 = 0 ⇐⇒ Q = 130 và π ′′ = − 4 , 4 < 0 nên tại Q = 130 thì π max Tại Q = 130 ta có mức giá P = 600 − 2 · 130 = 340 và lợi nhuận π = 36980 Tổng chi phí mới ( C t ) được tính bằng cách cộng thêm thuế ( 22 ) cho mỗi đơn vị sản phẩm vào tổng chi phí ban đầu. C t = C + 22 Q = ( 0 , 2 Q 2 + 28 Q + 200 ) + 22 Q = 0 , 2 Q 2 + 50 Q + 200 Hàm lợi nhuận mới ( π t ) được tính bằng cách lấy doanh thu ( R ) trừ đi tổng chi phí mới ( C t ). π t = R − C t = ( 600 Q − 2 Q 2 ) − ( 0 , 2 Q 2 + 50 Q + 200 ) = − 2 , 2 Q 2 + 550 Q − 200 Ta có π ′ t = 0 ⇐⇒ − 4 , 4 Q + 550 = 0 ⇐⇒ Q = 125 và π ′′ = − 4 , 4 < 0 nên tại Q = 125 thì π t max Tại Q = 125 ta có mức giá P = 600 − 2 · 125 = 350 và lợi nhuận π t = 34175 Câu 2. cho hàm cẩu của một loại sản phẩm là P = 100 − √ Q 2 + 20 a) Tìm tốc độ thay đổi của P theo Q b) Tìm độ thay đổi tương đối của P theo Q c) Tìm giá trị cận biên của doanh thu. | Lời giải. a) Tốc độ thay đổi của P theo Q được tính bằng đạo hàm của P theo Q P ′ = − Q √ Q 2 + 20 b) Độ thay đổi tương đối của P theo Q là ε PQ = dP dQ · Q P = − Q √ Q 2 + 20 · Q 100 − √ Q 2 + 20 c) Doanh thu: R = PQ = ( 100 − √ Q 2 + 20 ) Q = 100 Q − Q √ Q 2 + 20 Doanh thu biên: MR = dR dQ = 100 − 2 Q 2 + 20 √ Q 2 + 20 Câu 3. Cho hàm cầu có phương trình: Q = 60 P + ln ( 65 − P 3 ) a) Xác định hệ số co dãn khi P = 4 b) Nếu giá giảm 2% (từ $4 xuống còn $3,92) thì lượng bán sẽ thay đổi bao nhiêu %? c) Sự thay đổi giá ở b) làm tăng hay giảm doanh thu. | Lời giải. a) Ta có đạo hàm Q ′ = 60 − 3 P 2 65 − P 3 ε P = dQ dP · P Q = ( 60 − 3 P 2 65 − P 3 ) · P 60 P + ln ( 65 − P 3 ) . Tại P = 4 thì ε P = 0 , 2 3 b) Phần trăm thay đổi của lượng bán được tính theo công thức % ∆ Q ≈ E d · % ∆ P Giá giảm 2% , nên % ∆ P = − 2% . Phần trăm thay đổi của lượng bán được tính. % ∆ Q ≈ 0 2 · ( − 2% ) = − 0 4% c) Doanh thu R được tính như sau: R = P · Q Đạo hàm của doanh thu theo giá được tính: R ′ = dR dP = d dP ( P · Q ) = Q + P · Q ′ Giá trị của R ′ khi P = 4 : R ′ = 240 + 4 · 12 = 240 + 48 = 288 Vì R ′ > 0 , doanh thu sẽ tăng khi giá tăng. Vì giá giảm 2% , doanh thu sẽ giảm. 4